高考力学解题利器之二——例说应用功能关系解题

　一、规律：

　　动能定理：外力对物体做的总功等于物体动能的改变。

　　机械能守恒定律：系统在只有重力做功或弹簧弹力做功时，系统的机械能保持不变。

　　能量守恒定律：能量既不会凭空产生，也不会凭空消灭，它只能从一种形式转化为其他形式，或者从一个物体转移到另一个物体，在转化或转移的过程中，能量的总量不变。

　　功能关系：功是能量转化的量度。

　　二、例说

　　【例1】2007年理综（全国卷II）23．（16分）

　　如图所示，位于竖直平面内的光滑有轨道，由一段斜的直轨道与之相切的圆形轨道连接而成，圆形轨道的半径为R。一质量为m的小物块从斜轨道上某处由静止开始下滑，然后沿圆形轨道运动。要求物块能通过圆形轨道最高点，且在该最高点与轨道间的压力不能超过5mg（g为重力加速度）。求物块初始位置相对于圆形轨道底部的高度h的取值范围。

　　【参考解答】

　　设物块在圆形轨道最高点的速度为v，由机械能守恒定律得

　　mgh＝2mgR＋mv²    ①

　　物块在最高点受的力为重力mg、轨道的压力N。重力与压力的合力提供向心力，有：mg＋N＝m          ②

　　物块能通过最高点的条件是

　　N≥0                  ③

　　由②③式得：V≥  ④

　　由①④式得：H≥2．5R   ⑤

　　按题的需求，N＝5mg，

　　由②式得：V＜   ⑥

　　由①⑥式得：h≤5R      ⑦

　　h的取值范围是：2．5R≤h≤5R  ⑧

　　【简评】第①式为机械能守恒定律。需要注意的是，只有满足守恒条件方可使用。此题是光滑轨道，无摩擦，只有重力做功，当然可以使用。①式也可以用动能定理来写，不过要写成：

　　Mg（h－2R）＝mv²，重力的功（即总功）等于动能的改变。写法不同，文字说明不同，但结果一样。

　　【例2】2007年理综（四川卷）25．（20 分）

　　目前，滑板运动受到青少年的追捧。如图是某滑板运动员在一次表演时的一部分赛道在竖直平面内的示意图，赛道光滑，FGI为圆弧赛道，半径R＝6．5m，G为最低点并与水平赛道BC位于同一水平面，KA、DE平台的高度都为h = 18m。B、C、F处平滑连接。滑板a和b的质量均为m，m＝5kg，运动员质量为M，M＝45kg。

　　表演开始，运动员站在滑板b上，先让滑板a从A点静止下滑，t₁＝0．1s后再与b板一起从A点静止下滑。滑上BC赛道后，运动员从b板跳到同方向运动的a板上，在空中运动的时间t₂＝0．6s。（水平方向是匀速运动）。运动员与a板一起沿CD赛道上滑后冲出赛道，落在EF赛道的P点，沿赛道滑行，经过G点时，运动员受到的支持力N=742．5N。（滑板和运动员的所有运动都在同一竖直平面内，计算时滑板和运动员都看作质点，取g＝10m/s）

　　（1）滑到G点时，运动员的速度是多大？

　　（2）运动员跳上滑板a后，在BC赛道上与滑板a共同运动的速度是多大？

　　（3）从表演开始到运动员滑至I的过程中，系统的机械能改变了多少？

　　【参考解答】

　　解：（1）在C点，运动员和滑板一起做圆周运动，设向心加速度为，速度为，运动员受到重力Mg、滑板对运动员的支持力N的作用，则

　　有          ①

　　                  ②

　　           ③

　　         ④

　　               ⑤

　　（2）设滑板a由A点静止下滑到BC赛道后速度为v₁，由机械能守恒定律有

　　             ⑥

　　                 ⑦

　　运动员与滑板b一起由A点静止下滑到BC赛道后，速度也为 v₁。

　　运动员由滑板b跳到滑板a，设蹬离滑板b时的水平速度为v₂，在空中飞行的水平位移为s，则

　　                  ⑧

　　设起跳时滑板a与滑板b的水平距离为s0，则

　　s₀=v₁t₁                    ⑨

　　设滑板a在t2时间内的位移为s1，则

　　s₁=v₁t₂                    ⑩

　　s=s₀+s₁                    ⑾

　　即v₂t₂=v₁（t₁+t₂）          ⑿

　　运动员落到滑板a后，与滑板a共同运动的速度为v，由动量守恒定律有

　　mv₁+Mv₂=（m+M）v        ⒀

　　由以上方程可解出

　　  ⒁

　　代入数据，解得v=6．9m/s     ⒂

　　（3）设运动员离开滑板b后，滑板b的速度为v₃，有

　　     ⒃

　　可算出v₃=-3m/s，有b板将在两个平台之间来回运动，机械能不变。

　　系统的机械能改变为

　　     ⒄

　　【简评】此题情形较为复杂，参考解答的式子多达17个。这也充分体现了命题者对考生综合能力的考察要求。题目中贯穿了功和能的关系，第⑥式是机械能守恒，第⒄式是能量守恒。

　　三、总结

　　动能定理是通过牛顿第二定律（F_合＝ma）和运动学公式（v_t²-v₀²=2as）推导出来的。因为消去了时间，所以适合于跟时间无关的力学问题。由于消去了加速度，所以不用过多关注问题的细节，也适合于各种非匀变速运动，应用范围不受限制。因此，大量的与时间无关的力学问题都可以用动能定理尝试，往往能化难为易。

　　机械能守恒定律是通过动能定理推导出来的，它也是在只有重力（或弹簧弹力）做功时的能量守恒的一种特例。由于重力做功非常普遍，而小范围内可认为重力是恒力，因此这条定律得以广泛应用。

　　把握功是能量转化的量度，能量的转化可通过做功来衡量，对功能关系的正确认识和熟练运用，是解决力学题的重要利器之一。