用探究法推导匀加速运动位移公式

　　在高中物理教材“匀变速直线运动”的教学过程中，对匀加速直线运动位移公式的处理，一般会采用以教师传授、学生接受为主的接受式教学方式。

　　能否采用探究式教学呢？考虑到学生在学习“匀变速直线运动”之前，已具有了一定的关于物体运动的知识，以及研究物体运动的方法和能力，例如：物体的运动情况可以用速度–时间图像来表示；匀速直线运动速度–时间图像的图线与横轴所围的面积表示其运动的位移；用无限分割逐渐逼进的思想建立了瞬时速度的概念等等，所以，我们在推导匀加速直线运动的位移公式时，采用了探究式教学方式，通过“提出问题、作出假设、搜集证据、验证假设”，最终探究出匀变速直线运动的位移公式。

　　下面介绍我们在“匀变速直线运动”的教学过程中，用探究的方法推导“匀加速直线运动位移公式”的一些做法。

　　一、提出问题

　　在已知匀加速直线运动初速度和加速度的情况下，如何表示物体在时间t内的位移？教师首先非常明确地提出了要研究的问题。

　　学生首先想到数学公式是表示物理规律的一种形式，提出用数学公式的方法来表示物体的位移，但如何得到匀加速直线运动的公式呢？

　　学生又想到了图像是表示物理规律的另一种形式，提出用位移–时间图像来反映物体的位移，进一步研究发现，匀加速直线运动的位移–时间图像是一条斜率逐渐变大的曲线，要准确画出位移–时间图像还是要知道位移与时间的函数关系。

　　这样，如何推导匀加速直线运动的位移公式就成了问题的焦点。

　　二、作出假设

　　通过现有的公式是不能推导出匀加速直线运动位移公式的，在同学们得到这样一个共识后，教师让学生猜测，通过怎样的方法可以得出位移公式。学生很快就想到了速度–时间图像，并猜想图线与横轴所围的面积就表示物体运动的位移。

　　三、搜集证据

　　在匀加速直线运动速度–时间图像中，图线与横轴所围的面积表示其运动的位移，这仅仅是你们的一个假设，那么，你们假设的依据是什么？是受到什么启发还是凭借灵感？另外，假设是否成立还需验证，你们有又什么证据能说明假设是成立的呢？

　　在教师的一番追问下，学生说出了他们的假设是受到了“匀速直线运动的位移可由速度–时间图像的面积来表示”的启发。至于假设成立的证据，学生通过相互交流、讨论、启发后，找出了下列几点：

　　1．在匀速直线运动中，物体运动位移也是用速度–时间图像的面积来表示的。

　　2．在匀加速直线运动的速度–时间图像中，随着时间的增加，面积是变大的，与实际情况一致。

　　3．速度–时间图像面积的单位与位移的单位相同。

　　对以上证据，师生一起分析后认为，证据2和证据3，只能是假设成立的必要条件，而非充分条件。至于证据1是描述匀速直线运动的情况，而我们现在研究的匀加速直线运动，二者好像没有关系。

　　在学生们对问题的研究好像进入到山穷水尽之际，教师给了学生这样的提示：我们能否将匀加速直线运动与匀速直线运动联系起来？

　　学生的思维火花再次迸发：采用建立瞬时速度概念时所用的无限分割逐渐逼进的思维方法，如果将匀加速直线运动的时间t划分成时间间隔为Δt的若干份，只要Δt足够小，物体在每一份Δt内的运动均可看成是匀速直线运动，并且从一个Δt到下一个Δt，物体的速度跳跃性的突然增加。所以，匀加速直线运动的位移就是所有时间间隔为Δt的匀速直线运动的位移之和。

　　四、得出结论

　　在学生充分分析、讨论、表达的基础上，教师演示了用几何画版制作的课件，如图所示，当时间间隔Δt调整到很小时，所有矩形的面积之和趋向于匀加速直线运动v–t图像的图线与横轴所围的梯形面积。这样就证明了“在匀加速直线运动速度–时间图像中，图线与横轴的所围面积表示其运动的位移”的假设是正确的。

　　利用上述假设，学生通过计算，很快就得出匀加速直线运动的位移公式为。

　　五、学生课后对生成问题的再探究

　　在得到“当调整时间间隔Δt很小时，所有矩形的面积之和趋向于匀加速直线运动v–t图像的图线与横轴所围的梯形面积”结论时，有学生对此结论提出疑问：匀加速直线运动v–t图像的梯形面积与无限多个矩形面积之间，还相差无限多个小三角形的面积，无限多个小量也许是很大的呀？

　　针对这样的疑问，我给出了以下两个方案，建议学生课后再探究。

　　方案一、计算所有时间间隔为Δt的匀速直线运动的位移之和，看计算的结果与我们刚才利用匀加速直线运动v–t图像面积得到的位移公式是否一致？

　　方案二、将匀加速直线运动的时间t划分成时间间隔相等的二份、三份、四份……，算一算在有限的“n份”中，随着n的增加，n个小三角形的总面积是变大了还是变小了，再想一想当n为无限大时，n个小三角形的总面积是否趋向于零？

　　下面是同学们在课后对第一种方案研究的简要：

　　将匀变速直线运动的时间t分成时间间隔为Δt的n等份，当Δt足够小时，每一份Δt内的运动看成是匀速直线运动，n份匀速直线运动的总位移为：

　　由匀加速直线运动的速度公式得（1）式中的v₁、v₂、……v_（n-1）为：

　　……

　　将v₁、v₂、……v_（n-1）代入（1）式，整理得：

　　再将t=nΔt代入（2）式，得：

　　因为Δt无限小，所以可看成零。故有。结果与通过匀加速直线运动v–t图像面积求得的位移公式是一致的。

　　实践证明，上述对匀加速直线运动位移公式的探究式教学是成功的。

　　通过对匀加速直线运动位移公式这个“小的课题”从“部分要素”上进行“理论推导”的探究，我们认为，探究的课题可以是大的课题也可是小的课题，因为探究是感悟一种科学的研究方法，是体验一种知识的获得过程；探究未必一定要动手实验，也可进行理论推导，因为探究的关键是思维；探究未必一定要对课题进行“各个要素”的全面探究，也可对课题进行“部分要素”的探究，因为这在有限的课堂教学时间内更具有操作性。